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ESTADISTICA

Estadística, rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar y analizar datos numéricos y que ayuda a resolver problemas como el diseño de experimentos y la toma de decisiones.

HISTORIA

Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o cosas. Hacia el año 3000 a.C. los babilonios usaban pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos sobre la producción agrícola y sobre los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. En el siglo XXXI a.C., mucho antes de construir las pirámides, los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país. Los libros bíblicos de Números y Crónicas incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías. En China existían registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 a.C. Los griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el 594 a.C. para cobrar impuestos.
El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Durante la edad media sólo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa. Los reyes carolingios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las propiedades de la Iglesia en los años 758 y 762 respectivamente. Después de la conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey Guillermo I de Inglaterra encargó la realización de un censo. La información obtenida con este censo, llevado a cabo en 1086, se recoge en el Domesday Book. El registro de nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra a principios del siglo XVI, y en 1662 apareció el primer estudio estadístico notable de población, titulado Observations on the London Bills of Mortality (Comentarios sobre las partidas de defunción en Londres). Un estudio similar sobre la tasa de mortalidad en la ciudad de Breslau, en Alemania, realizado en 1691, fue utilizado por el astrónomo inglés Edmund Halley como base para la primera tabla de mortalidad. En el siglo XIX, con la generalización del método científico para estudiar todos los fenómenos de las ciencias naturales y sociales, los investigadores aceptaron la necesidad de reducir la información a valores numéricos para evitar la ambigüedad de las descripciones verbales.
En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para describir con exactitud los valores de datos económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos o físicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico no consiste ya sólo en reunir y tabular los datos, sino sobre todo en el proceso de “interpretación” de esa información. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden aproximar, con gran exactitud, utilizando determinadas distribuciones probabilísticas; los resultados de éstas se pueden utilizar para analizar datos estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadístico.


METODOS ESTADISTICOS

La materia prima de la estadística consiste en conjuntos de números obtenidos al contar o medir elementos. Al recopilar datos estadísticos se ha de tener especial cuidado para garantizar que la información sea completa y correcta.
El primer problema para los estadísticos reside en determinar qué información y en que cantidad se ha de reunir. En realidad, la dificultad al compilar un censo está en obtener el número de habitantes de forma completa y exacta; de la misma manera que un físico que quiere contar el número de colisiones por segundo entre las moléculas de un gas debe empezar determinando con precisión la naturaleza de los objetos a contar. Los estadísticos se enfrentan a un complejo problema cuando, por ejemplo, toman una muestra para un sondeo de opinión o una encuesta electoral. El seleccionar una muestra capaz de representar con exactitud las preferencias del total de la población no es tarea fácil.
Para establecer una ley física, biológica o social, el estadístico debe comenzar con un conjunto de datos y modificarlo basándose en la experiencia. Por ejemplo, en los primeros estudios sobre crecimiento de la población, los cambios en el número de habitantes se predecían calculando la diferencia entre el número de nacimientos y el de fallecimientos en un determinado lapso. Los expertos en estudios de población comprobaron que la tasa de crecimiento depende sólo del número de nacimientos, sin que el número de defunciones tenga importancia. Por tanto, el futuro crecimiento de la población se empezó a calcular basándose en el número anual de nacimientos por cada 1.000 habitantes. Sin embargo, pronto se dieron cuenta que las predicciones obtenidas utilizando este método no daban resultados correctos. Los estadísticos comprobaron que hay otros factores que limitan el crecimiento de la población. Dado que el número de posibles nacimientos depende del número de mujeres, y no del total de la población, y dado que las mujeres sólo tienen hijos durante parte de su vida, el dato más importante que se ha de utilizar para predecir la población es el número de niños nacidos vivos por cada 1.000 mujeres en edad de procrear. El valor obtenido utilizando este dato mejora al combinarlo con el dato del porcentaje de mujeres sin descendencia. Por tanto, la diferencia entre nacimientos y fallecimientos sólo es útil para indicar el crecimiento de población en un determinado periodo de tiempo del pasado, el número de nacimientos por cada 1.000 habitantes sólo expresa la tasa de crecimiento en el mismo periodo, y sólo el número de nacimientos por cada 1.000 mujeres en edad de procrear sirve para predecir el número de habitantes en el futuro.

POBLACION, INDIVIDUO, CARÁCTER.

El primer campo de actuación de la estadística, como se ha visto, es la demografía. De esta ciencia ha tomado la nomenclatura (población, individuo…).
Se llama población al conjunto de todos los elementos cuyo conocimiento interesa. Cada uno de esos elementos es un individuo. Si se está estudiando el resultado de ciertos experimentos químicos, cada uno de esos experimentos será un individuo estadístico y el conjunto de todos los posibles experimentos en esas condiciones será la población.
Cada individuo puede ser descrito mediante uno o varios caracteres. Por ejemplo, si los individuos son personas, el sexo, el estado civil, el número de hermanos o su estatura son caracteres. Y si el individuo es una reacción química, el tiempo de reacción, la cantidad de producto obtenido o si éste es ácido o básico serán posibles caracteres que pueden analizarse.
Un carácter puede ser cuantitativo si es medible numéricamente o cualitativo si no admite medición numérica. El número de hermanos y la estatura son caracteres cuantitativos mientras que el sexo y el estado civil son caracteres cualitativos.
Los distintos valores que puede tomar un carácter cuantitativo configuran una variable estadística. La variable estatura, en cierta población estadística, toma valores en el intervalo 147-205; y la variable número de hermanos toma los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. Una variable estadística como esta última es discreta, ya que sólo admite valores aislados. Una variable estadística es continua si admite todos los valores de un intervalo, como ocurre con la estatura.

ESTADISTICA DESCRIPTIVA

La estadística descriptiva analiza, estudia y describe a la totalidad de individuos de una población. Su finalidad es obtener información, analizarla, elaborarla y simplificarla lo necesario para que pueda ser interpretada cómoda y rápidamente y, por tanto, pueda utilizarse eficazmente para el fin que se desee. El proceso que sigue la estadística descriptiva para el estudio de una cierta población consta de los siguientes pasos:
• Selección de caracteres dignos de ser estudiados.
• Mediante encuesta o medición, obtención del valor de cada individuo en los caracteres seleccionados.
• Elaboración de tablas de frecuencias, mediante la adecuada clasificación de los individuos dentro de cada carácter.
• Representación gráfica de los resultados (elaboración de gráficas estadísticas).
• Obtención de parámetros estadísticos, números que sintetizan los aspectos más relevantes de una distribución estadística.

ESTADISTICA INFERENCIAL

La estadística descriptiva trabaja con todos los individuos de la población. La estadística inferencial, sin embargo, trabaja con muestras, subconjuntos formados por algunos individuos de la población. A partir del estudio de la muestra se pretende inferir aspectos relevantes de toda la población. Cómo se selecciona la muestra, cómo se realiza la inferencia, y qué grado de confianza se puede tener en ella son aspectos fundamentales de la estadística inferencial, para cuyo estudio se requiere un alto nivel de conocimientos de estadística, probabilidad y matemáticas.


PROBABILIDAD

Probabilidad, rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que ocurra un determinado suceso. La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística.
La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores, como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes contribuciones a su desarrollo. La probabilidad matemática comenzó como un intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos de azar, por ejemplo, saber cuántos dados hay que lanzar para que la probabilidad de que salga algún seis supere el 50%.

BLAISE PASCAL

La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1, ambos inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la probabilidad 1, que el resultado ocurrirá siempre.
El cálculo matemático de probabilidades se basa en situaciones teóricas en las cuales puede configurarse un espacio muestral cuyos sucesos elementales tengan todos la misma probabilidad. Por ejemplo, al lanzar un dado ideal, la probabilidad de cada una de las caras es 1/6. Al lanzar dos dados, la probabilidad de cada uno de los resultados es 1/36.
En estos casos, la probabilidad de un suceso cualquiera S, se calcula mediante la regla de Laplace: P[S] = número de sucesos elementales de S / número total de sucesos elementales
La expresión anterior se suele expresar del siguiente modo: P[S] = número de casos favorables a S / número de casos posibles
El matemático francés Pierre de Fermat destacó por sus importantes aportaciones a la teoría de la probabilidad y al cálculo diferencial. También contribuyó al desarrollo de la teoría de números.
La aplicación de la regla de Laplace en casos elementales es muy sencilla. Por ejemplo, en la experiencia de lanzar un dado: P[{2, 3, 4, 5}] = 4/6
pues {2, 3, 4, 5} tiene 4 sucesos elementales y la experiencia admitía, en total, seis posibilidades.
Sin embargo, la aplicación de esta regla en experimentos más complejos requiere el uso de la combinatoria. Por ejemplo, al extraer tres cartas de una baraja y ver la probabilidad de que las tres sean tréboles, el número total de sucesos elementales es C523 = (52·51·50)/(3·2·1) = 22.100. Los casos favorables son C133= (13·12·11)/(3·2·1) = 286. Por tanto, la probabilidad pedida es: P[TRES TRÉBOLES] = 286/22.100 = 143/11.050
La resolución de este tipo de problemas se simplifica notablemente si consideramos “sacar tres naipes” como una experiencia compuesta por tres experiencias simples: “sacar un naipe y después otro y después otro”.
CALCULO DE PROBABILIDADES EN EXPERIENCIAS COMPUESTAS
El cálculo de probabilidades en una experiencia compuesta se realiza multiplicando las probabilidades de los sucesos componentes.
Si las experiencias son independientes (el resultado de una no influye en las siguientes), entonces P[S1 y S2 y…y Sn] = P[S1]·P[S2]…P[Sn]
Así, para calcular la probabilidad de que al tirar tres dados no se obtenga ningún 6 se procederá así: P[ningún 6] = P[no 6]·P[no 6]·P[no 6] = (5/6)3 = 125/216
Si las experiencias son dependientes (el resultado de cada una influye en las probabilidades de las siguientes), entonces P[S1 y S2 y…y Sn]= P[S1]·P[S2/supuesto que ocurrió S1]…P[Sn/supuesto que ocurrieron S1 y S2 y…]
Así, para calcular la probabilidad de obtener tres tréboles al extraer tres cartas de una baraja, se procederá así: P[TRES TRÉBOLES] = P[1ª tréboles]·P[2ª tréboles/1ª tréboles]·P[3ª tréboles/1ª y 2ª tréboles] = (13/52)·(12/51)·(11/50) = 143/11.050


LEY DE LOS GRANDES NUMEROS

Según se ha visto, la regla de Laplace sirve para calcular probabilidades de sucesos extraídos de experimentos ideales en los cuales se da por sentado que los distintos sucesos elementales son equiprobables. Sin embargo, la realidad no es así. Por ejemplo, en un dado real la probabilidad de que salga un 4 no es 1/6. Si el dado es muy perfecto, P[4] será, acaso, un número próximo a 1/6, pero no exactamente 1/6. En cualquier caso, se ignora cuál es el valor exacto de la probabilidad para cada dado en concreto. La forma de averiguar esos valores es mediante la ley de los grandes números. Esta ley afirma que la frecuencia relativa de un suceso, fr(S), cuando el número de experiencias se hace muy grande (tiende a infinito), se estabiliza en torno a un valor que es la probabilidad del suceso, P[S]. Esto se expresa, simbólicamente del siguiente modo: lim fr(S) = P[S]
Según esta ley, para averiguar la probabilidad de un suceso S, se debe realizar la experiencia reiteradamente y calcular la frecuencia relativa de S. Cuanto mayor sea el número de experiencias realizadas más fiable es la estimación de la probabilidad P[S] a partir de la frecuencia relativa fr(S).
Las compañías de seguros evalúan las probabilidades de los sucesos que les interesan (accidentes de coches, inundaciones, epidemias,…) mediante una minuciosa recopilación de datos (experiencias) que les permiten inferir dichas probabilidades con suficiente aproximación como para poder asignar las cuotas de manera justa.